\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
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\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre \\
Responsable: Christine Huyghe \\
Contrôle Continu du 21 mai 2013. Durée : 3h.\\}
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique
(calculatrice, ...). Le barême noté n'est qu'indicatif.

\vspace{+1cm}
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item[Cours (4 pts).] 
	Soit $K$ un corps.	
		\begin{enumerate}   
				\item[1-] Soient $K$ un corps et $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension
finie, $u\in{\cal L}(E)$ un endomorphisme de $E$. Montrer que $u$ est injectif si et seulement
si l'image d'une base de $E$ par $u$ est une base.
		 \end{enumerate}
%
\item[Vrai/Faux (6 pts).] Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier votre réponse : donner une démonstration si vous trouvez que l'affirmation est
juste. Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.
         \begin{enumerate} 
                \item[a-] Soient $E$ un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie, 
				$u\in {\cal L}(E)$ un endomorphisme de $E$ tel que $u^3=Id$. Alors les
                valeurs propres $\lambda$ de $u$ vérifient $\lambda^3=1$.
                 \item[b-] Soient $E=\Cc^3$ et $u\in {\cal L}(E)$, alors si $u^3=0$, 
                  on a $u^2=0$.
                 \item[c-] Soient $E=\Cc^3$, $u\in {\cal L}(E)$, $x\in E$, alors il existe 
                   $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\in \Cc$ non tous nuls, tels que 
                   $\lambda_1 x + \lambda_2 u(x)+\lambda_3 u^2 + \lambda_4 u^3(x)=0$.
                 \item[d-] Soit $t\in \Rr$, les $4$ vecteurs suivants forment une base de
                 $\Cc^4$: 
                  $$ U=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\,
                     V =\left[\begin{array}{c} 1 \\ t^2+1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \, 
                     W  =\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2\end{array}\right], \,
                      Z=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right].$$
                \item[e-] Soient $K$ un corps et $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $f,g \in
               {\cal L}(E)$, alors $Im(f+g) \subset Im(f)+Im(g)$.
                \item[f-] Deux matrices de $M_n(\Cc)$ qui ont même rang ont aussi même
                trace.
          \end{enumerate}
                 
\item[Exercice 1 (5 pts).] 
        \begin{enumerate}
         \item[a-] Soit $A=(a_{i,j})\in M_3(\Rr)$. Calculer $Tr(A(^tA))$ en fonction des coefficients
          $a_{i,j}$ et montrer que $Tr(A(^tA))=0$ si et seulement si $A=0$.
         \item[b-] Montrer que l'application $\Phi_A$ : 
         $$\begin{array}{rcl}M_3(\Rr)&\rightarrow & \Rr \\
                 M & \mapsto & Tr(AM)  , \end{array}$$ 
        est une forme linéaire non nulle si $A\neq 0$, ce qu'on suppose dans la suite de
l'exercice.
         \item[c-] Soient $H_A=Ker(\Phi_A)$ et $H=Ker(\Phi_{Id})$. Quelle est la dimension
de $H_A$ ?  Donner une base de
        $H$. (Indication : on pourra chercher une
         base constitutée de la somme de au plus $2$ matrices élémentaires).
         \item  
				  \begin{enumerate} \item[a-]
				  On suppose que 
				  $A$ est inversible, donner une base de $H_A$.
				  \item[d-] Soit $$J=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0  \\
												   0 & 0 & 0 \\
												   0 & 0 & 0 \end{array}\right].$$ 
					   Donner une base de $H_J$ constituée de matrices élémentaires.
				 \item[e-] Soit $A$ une matrice de rang $1$. Donner une base de $H_A$.
				 \end{enumerate}
         \end{enumerate}

\item[Exercice 2 (6 pts)]
        Soit $t\in\Rr$, et $A\in M_3(\Cc)$ la matrice 
                 $$\left[\begin{array}{ccc}
                -1&0&0 \\ 2&2+t&2 \\ 1&0&1-t
                 \end{array}\right].$$
        \begin{enumerate} \item[a-] Calculer $P_A(X)$ le polynôme caractéristique de la
              matrice $A$, et le factoriser.
                        \item[b-] Quelles sont les valeurs propres complexes de $A$ ?
                         \item[c-] Discuter, suivant les différentes valeurs de $t$, la
                        dimension des sous-espaces propres (dans $\Cc^3$) associés à $A$.
                        \item Pour quelles valeurs de $t$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable sur $\Cc$ ? sur  
                         $\Rr$ ?
                        \item On suppose que $A$ est diagonalisable sur $\Cc$.
                               \begin{enumerate} \item[d-] Donner une
                        matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ de $GL_3(\Cc)$ telles que $$A =PDP^{-1}.$$
                               \item[e-] Montrer que 
                               $$(A+Id)(A-(1-t)Id)(A-(2+t)Id)=0.$$  
                                \end{enumerate}
                           \item On suppose que $t=-1/2$.
										   \begin{enumerate} \item[f-] Montrer que $A$ est
								  semblable à une matrice triangulaire supérieure.
								  \item[g-] Montrer qu'on a 
										 $$(A+Id)(A-\frac{3}{2}Id)^2=0.$$
											\end{enumerate}
        \end{enumerate}

\end{enumerate}

         
\end{document}
